特徵值與特徵向量

就數學上的定義，倘若有一個 n*n 的矩陣 A，若可以找到一 n*1 的矩陣 x，使得

Ax = λx

    則此時，λ 就是該矩陣 A 的一個特徵值，而 x 就是相對的特徵向量。

    在計算上，一般就是兩邊乘單位矩陣：

IAx = Iλx

    而移項後，得到  (A-Iλ)x=0

    求解的一個簡單方法是去算 det((A-Iλ))=0，然後可以得到 λ。正常來說，應該有 n 個  λ值，每個值你都可以再用 A 去找相對應的特徵向量。

    基本上，那是用來解釋計算方式的方法，但是就我問很多學生，發現這樣學會的特徵值和特徵向量，基本上抓不到其物理特性，因此很多人過了一段時間就把相關的概念還給老師了。

    因此，我最近在想一個問題：怎麼樣可以用一個很簡單的方式去介紹特徵值與特徵向量，我的解釋其實是這樣的：

假設有一個n*n 的矩陣 A，這個矩陣一般可以對一個 n*1 的向量或是 n*m 的矩陣進行轉換，也就是說，對那個向量或矩陣做一些位移，而特徵值與特徵向量，就表示在用矩陣 A 對於要轉換的矩陣或向量，分別針對各特徵向量的方向進行特徵值的作用。

舉個例子來說好了，以下的矩陣 [(2,0),(0,1)]，透過計算 det([(2-λ,0),(0,1-λ)])，解得 λ 為 2 或 1，代表對於 (c, 0)，也就是水平方向，會讓他變 2 倍，而對於 (0, d) 方向，保持不變。

也就是說，當你要觀察一個向量 x，而這個 x 可以表示成為 A 各特徵向量所組成向量空間的點，倘若分別是 aλi，則該向量乘 A，就約當於每個 aλi乘   λi，再把各相對特徵向量乘起來以後案各維度相加即可。